灵敏度分析

文章目录

灵敏度分析

前言

一、灵敏度是什么？

1.概念

2.灵敏度的应用

二、一个通俗的例子对灵敏度分析的解释

三、灵敏度分析的方法

四、灵敏度分析的具体实例

五、总结

引用

前言

在数学建模的评价类问题中，灵敏度分析是一个重量级的评价方法，尤其是针对规划问题，是一定要在建模后对模型进行灵敏度分析的，用来检验模型的稳定性。

本文主要介绍了灵敏度分析的概念和如何对我们建立的模型进行灵敏度分析，最后，我们通过一个例题来具体讲解灵敏度分析的操作方法。

一、灵敏度是什么？

1.概念

灵敏度分析是研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。

2.灵敏度的应用

投入产出法中灵敏度分析

可以用来研究采取某一项重大经济政策后将会对国民经济的各个部门产生怎样的影响。例如，美国政府曾经利用投入产出表研究了提高职工工资10%对国民经济各部门商品价格的影响。研究的结果表明，在职工工资增加10%时，建筑业产品的价格将上涨7%，农产品的价格将上涨1.3%，其余各部门产品价格将上涨1.3～7%不等,生活费用将上升3.8%，职工的实际得益为6.2%。

方案评价中灵敏度分析

可以用来确定评价条件发生变化时备选方案的价值是否会发生变化或变化多少。例如，在利用评价表进行评价时，需要确定每一个分目标的权重系数和各分目标的评分数。这中间或多或少地会存在当事人的主观意识，不同的人可能会有截然不同的价值观念。因此就必须考虑当分配的权重系数或评分数在某一个范围内变化时，评价的结果将会产生怎样的变化。

定货批量的灵敏度分析

在分析整批间隔进货模型中，经济订货批量Q可用下式计算：

Δ Q ∗ = Q 1 ∗ − Q ∗ Q ∗ \Delta Q^*=\frac {Q^*_{1}-Q^*}{Q^*} ΔQ∗=Q∗Q1∗​−Q∗​ 式中 D D D为单位时间需求量， K K K为每次订货的固定费用， h h h为单位时间内每单位物资的保管费。它们一般都是根据统计资料估算的，与实际情况有所出入，需要进行灵敏度分析。用 D 1 D1 D1， K 1 K1 K1， h 1 h1 h1和Q分别表示实际的需求量、订货量、保管费和调整后的经济订货批量。 Δ D ΔD ΔD， Δ K ΔK ΔK, Δ h Δh Δh和 Δ Q ΔQ ΔQ分别代表需求量、订货量、保管费和经济订货批量的相对变化值，即： Δ Q ∗ = ( 1 + Δ D ) ( 1 + Δ K ) 1 + Δ h \Delta Q^*=\sqrt{\frac {(1+\Delta D)(1+\Delta K)}{1+\Delta h}} ΔQ∗=1+Δh(1+ΔD)(1+ΔK)​

​ 通过计算后可得 代入具体的数值后便可用上式说明 Δ D ΔD ΔD、 Δ K ΔK ΔK和 Δ h Δh Δh对订货批量的综合影响程度。

二、一个通俗的例子对灵敏度分析的解释

一头牛重200斤，每天增重5斤，饲料每天花费45元。牛的市场价是每斤65元，但目前行情不好，每天下降1元，求出这头牛的最佳销售时间。

这是一个很简单的单变量优化问题。求这头牛的最佳销售时间，就是求卖出价格最高的时间，为了求出这个时间，我们假设：

销售时间 t t t

牛的重量 w w w

牛的价格 p p p

饲料花费 C C C

卖出牛的收益 R R R

净收益 P P P

于是有， P = R − C P=R-C P=R−C ，其中， R = p ⋅ w R=p·w R=p⋅w ， C = 45 t C=45t C=45t ，即得到净收益模型如下：

P = ( 65 − t ) ( 200 + 5 t ) − 45 t P=(65-t)(200+5t)-45t P=(65−t)(200+5t)−45t…………………………………(1)

容易得出当 t = 8 t=8 t=8 时， P P P取最大值13320元。

其实，大多数情况下，问题到这里就已划上句号。但现实生活中，稍微细心一点，我们会发现，在上述模型的参数中，牛的重量，当前市场价格、每天饲料钱3个参数都是很容易测量的，即确定性较大，但牛的生长率和市场价格的下降率2个参数则不是那么好确定，例子中虽然规定了市场价格下降率 r = 1 r=1 r=1元/天，但实际中，每天的 r r r 都是不一样的。于是我们会有一个疑惑——是不是对于所有的市场价格下降率，这个模型都适用？

为了消除疑惑，我们分别随便选取原下降率（1元/天）周围的几个数 r = 0.8 , 0.9 , 1.0 , 1.1 , 1.2 r=0.8,0.9,1.0,1.1,1.2 r=0.8,0.9,1.0,1.1,1.2来进行研究。

根据公式(1)，分别得出 [公式] ，得下图： 从图中可以看出，牛最佳卖出时间 t t t 随着市场价格下降率 r r r的变化而变化，这时候我们称：牛的卖出最佳时间 t t t 对市场价格下降率 r r r 是敏感的！

但是究竟有多敏感，就要进行灵敏度分析（敲黑板！！！划重点！！！）。

灵敏度分析，就是将市场价格下降率 r r r作为未知参数，计算最佳卖出时间 t t t 和 r r r关系。这时候，将例子中的“每天下降1元”改成“每天下降 r r r 元”，净收益模型就变成：

P = ( 65 − r t ) ( 200 + 5 t ) − 45 t P=(65-rt)(200+5t)-45t P=(65−rt)(200+5t)−45